首頁(yè) 現(xiàn)實(shí)

數(shù)學(xué)心

第六百六十二章 伊夫·梅爾的小波理論

數(shù)學(xué)心 蔡澤禹 1244 2022-05-07 16:50:31

  1960年,Yves Meyer伊夫·梅爾的小波

  小波理論允許我們將各種不同類型的信息分解為更簡(jiǎn)單的組件,從而使信息分析、處理和儲(chǔ)存變得更加簡(jiǎn)單。因此,小波理論被應(yīng)用在非常廣泛的領(lǐng)域中,包括調(diào)和分析應(yīng)用和計(jì)算、數(shù)據(jù)壓縮、降噪、醫(yī)學(xué)成像、歸檔、數(shù)字電影以及引力波探測(cè)等等。

  2016年,LIGO探測(cè)到兩個(gè)黑洞合并輻射出的引力波事件,其信號(hào)分析正是應(yīng)用了小波理論。

  有趣的是,Meyer的工作靈感并不是來(lái)自于數(shù)學(xué)的,而是來(lái)自于石油工業(yè)。

  在1980年代,法國(guó)工程師Jean Morlet想要知道如何更好的利用地震數(shù)據(jù)來(lái)尋找石油。

  Morlet分析了從石油勘探中收集到的反射數(shù)據(jù)。

  將振動(dòng)向地面?zhèn)魉?,并收集回聲?p>  這跟蝙蝠利用聲吶的原理一樣。

  問(wèn)題是如何分析反射回來(lái)的數(shù)據(jù),并提取關(guān)于石油層的有價(jià)值的信息。

  Morlet和物理學(xué)家Alex Grossmann想到了一個(gè)分析信號(hào)的方法,并且引入了一種新的函數(shù)類別,稱為“小波”(wavelets),該函數(shù)通過(guò)對(duì)固定函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移而得出。

  然而,石油工業(yè)對(duì)此并不感興趣。

  Morlet的方法并沒(méi)有被采用,但他們的論文依然在1984年的春天發(fā)表在科學(xué)期刊上。

  一年之后,Meyer正在巴黎綜合理工學(xué)院復(fù)印東西的時(shí)候,他的同事給他復(fù)印了關(guān)于Morlet的那篇論文。在前往馬賽的火車上,他發(fā)現(xiàn)了小波的巨大潛力。

  數(shù)學(xué)家和工程師早就知道一個(gè)分析和處理特定類型信息的強(qiáng)大工具:傅里葉分析。

  聲音是用來(lái)解釋傅里葉分析的最佳例子。

  例如,音叉發(fā)出來(lái)的中央A的聲音由一個(gè)完美的正弦波代表。這是一個(gè)正弦波。它往左和右無(wú)限地延伸。由于正弦波和余弦波相關(guān),因此這也可以看做是余弦波的表示。

  其它的聲音,比如小提琴奏出的相同音符,就更加復(fù)雜。

  但是,后來(lái)我們發(fā)現(xiàn)任何周期性的聲音,事實(shí)上是任何類型的周期信號(hào),都可以被分解成不同頻率的正弦波和余弦波的總和。

  函數(shù) f會(huì)隨著時(shí)間改變,代表了一個(gè)聲波。

  傅里葉變換過(guò)程會(huì)將函數(shù)f分解成特定頻率和振幅的正弦波。

  傅里葉變換被表示為頻域上的峰值,峰值的高度顯示了那個(gè)頻率下的波的振幅。

  傅里葉分析是個(gè)非常有用的工具。

  它也可以被用來(lái)分析和處理圖像以及其它類型的信息。

  但是,它也有缺陷:因?yàn)榛镜慕M件——正弦波和余弦波——是周期性的,傅里葉分析只有在重復(fù)信號(hào)中才能發(fā)揮最強(qiáng)大的作用。

  但對(duì)于那些具有不規(guī)則特征(比如峰值等)的非周期信號(hào)就不是那么管用了。

  不幸的是,在大部分現(xiàn)實(shí)生活的現(xiàn)象中,從說(shuō)話的聲音到地震數(shù)據(jù),都屬于非周期類別。

  這個(gè)波形來(lái)自人類的聲音。它有規(guī)律,但不是周期的。

  這也是小波理論登場(chǎng)的時(shí)候。

  顧名思義,小波就是一個(gè)“很小的波”。

  理論的基礎(chǔ)是一個(gè)“母小波”(mother wavelet),是振蕩函數(shù)的一小部分。

  振蕩的頻率各有不同,同樣地,小波的寬度也各有不同。

  但它們之間有著緊密的聯(lián)系:頻率越高,寬度越窄。

  通過(guò)改變母小波的尺度,可以產(chǎn)生女兒小波(daughter wavelets),比如縮?。l率增高)、放大(頻率降低)或移動(dòng)。

  一個(gè)信號(hào),比如我們講話的聲音,就可以用這一簇小波的組合來(lái)表示。

  這種分解可以使我們能夠捕捉在信號(hào)中的重復(fù)信息,利用一系列逐漸縮小版本的母小波也使我們可以放大局域的不規(guī)則性(比如峰值)。

  為了儲(chǔ)存這樣的一個(gè)信號(hào)分解,你只需要描述原來(lái)母小波的信息,以及不同女兒小波的貢獻(xiàn)。

  它們就已經(jīng)足夠可以把原信號(hào)重新構(gòu)建起來(lái)。

  前者的變量只有頻率ω,后者則有兩個(gè)變量:尺度a(控制小波函數(shù)的伸縮)和平移量τ(控制小波函數(shù)的平移)。

  小波理論的最初想法可以追溯到很早以前。

  數(shù)學(xué)家 Alfréd Haar在一百年前就已經(jīng)構(gòu)建了小波的一個(gè)版本。

  Haar的小波有一些漂亮的性質(zhì),但也有些不足。

  而 Meyer在小波理論的發(fā)展中起到了關(guān)鍵作用,是他構(gòu)建了小波理論的強(qiáng)有力的堅(jiān)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

  Meyer所作出的首個(gè)重大貢獻(xiàn)是構(gòu)造了具有光滑性的正交小波基。

  在 Morlet構(gòu)造的小波分析中,Meyer小波基中的所有函數(shù)都是通過(guò)平移和伸縮可以明確指定的單個(gè)光滑性“母小波”來(lái)生成。

  Morlet所構(gòu)造的小波盡管從本質(zhì)上看非?;A(chǔ),但卻相當(dāng)不可思議。

  隨后,Stéphane Mallat和 Yves Meyer系統(tǒng)地發(fā)展了多分辨率分析理論,這是構(gòu)造小波基的通用框架。

  在1980年代后期和1990年代初,信號(hào)處理迎來(lái)了“小波革命”,小波變換也被應(yīng)用在了許多基本信號(hào)處理的任務(wù)上。

  例如,壓縮(比如JPEG2000圖像壓縮格式)和去噪,以及更現(xiàn)代的應(yīng)用(比如壓縮傳感)。

  FBI也是利用小波來(lái)儲(chǔ)存指紋信息,否則就會(huì)占據(jù)大量的儲(chǔ)存空間。

  此外,Meyer的工作還推動(dòng)了調(diào)和分析和偏微分方程式領(lǐng)域的重要理論發(fā)展,從證明Lipschitz曲線上柯西積分的有界性(由Coifman、McIntosh和Meyer解決),到發(fā)展理解在偏微分方程的非線性效應(yīng)不可缺少的新工具(比如補(bǔ)償緊致等)。

  不僅如此,Meyer還在準(zhǔn)晶體、奇異積分算子和納維-斯托克斯方程式等課題作出了重要貢獻(xiàn)。

  可以說(shuō),Meyer的工作和洞見(jiàn)不僅推動(dòng)了純數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的應(yīng)用方面的發(fā)展,還為二者之間架起了卓有成效的溝通橋梁。

  Stéphane Mallat稱他為“有遠(yuǎn)見(jiàn)的人”,他的工作不屬于任何一個(gè)領(lǐng)域(比如純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)或計(jì)算機(jī)科學(xué)),它只能用“神奇”來(lái)標(biāo)簽。

按 “鍵盤(pán)左鍵←” 返回上一章  按 “鍵盤(pán)右鍵→” 進(jìn)入下一章  按 “空格鍵” 向下滾動(dòng)
目錄
目錄
設(shè)置
設(shè)置
書(shū)架
加入書(shū)架
書(shū)頁(yè)
返回書(shū)頁(yè)
指南