第四百九十三章 柯爾莫哥洛夫的概率公理體系（概率與統(tǒng)計(jì)）

　　柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕收撟隽烁拘缘男拚Ｋ褂玫氖且环N由法國傳入的名為測(cè)度論。

　　測(cè)度論將長(zhǎng)度、面積、體積等概念泛化，使得無法被常規(guī)方法測(cè)量的數(shù)學(xué)對(duì)象可能被測(cè)量。例如，一個(gè)有無限多個(gè)孔的正方形，被切割成了無窮多份并散落在了無限的平面中，借助測(cè)度論我們?nèi)匀豢梢员硎境鲞@個(gè)七零八碎的物體的“面積”（測(cè)度）。

　　1933年，柯爾莫哥洛夫的專著《概率論的基礎(chǔ)》出版，書中第一次在測(cè)度論基礎(chǔ)上建立了概率論的嚴(yán)密公理體系。

　　學(xué)生格涅堅(jiān)科看到了柯爾莫哥洛夫的概率公理體系，一共就三條。

　　1.一個(gè)事件的概率大于等于零。

　　2.至少一種可能的結(jié)果發(fā)生的概率為1。

　　3.如果兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，那么這兩個(gè)事件其中有一個(gè)發(fā)生的概率等于各個(gè)事件發(fā)生的概率之和。

　　格涅堅(jiān)科說：“老師，為什么要弄這三條公理？起來很簡(jiǎn)單呀，有什么了不起的？”

　　柯爾莫哥洛夫說：“概率論作為數(shù)學(xué)學(xué)科，可以而且應(yīng)該從公理開始建設(shè)，和幾何、代數(shù)的路一樣?！?p>　　格涅堅(jiān)科說：“我想知道，你這里有什么特殊的改變？”

　　柯爾莫哥洛夫說：“我引入了概率測(cè)度?！?p>　　格涅堅(jiān)科說：“測(cè)度代表的是研究集合的“大小”和“面積”的，怎么用在概率中的？”

　　柯爾莫哥洛夫說：“我的這三個(gè)公理規(guī)定了有界性、規(guī)范性和有限可加性，分別跟三個(gè)公理的第一二三條對(duì)應(yīng)。因?yàn)楝F(xiàn)代的數(shù)學(xué)都是以集合論為基礎(chǔ)的，所以概率也需要用集合論的語言來描述?！?p>　　大圓悖論（The Paradox of the Great Circle）就是通過柯爾莫哥洛夫的概率論得以解決的。大圓悖論是說，假設(shè)有外星人會(huì)隨機(jī)降落到一個(gè)完美的球形星球上，且降落到每個(gè)點(diǎn)的概率也都是平均的，這是否意味著所有球體的大圓（great circle，即過球心的平面和球面的交線，把球體分成了兩個(gè)相等的半球）上的降落概率都是一樣的呢？

　　其結(jié)果是，對(duì)于赤道所在的大圓而言，圓上每個(gè)點(diǎn)的概率是均等的。而對(duì)于經(jīng)線來說，靠近赤道的點(diǎn)概率大，靠近兩極的點(diǎn)概率小。

　　這一發(fā)現(xiàn)或許可以用越靠近赤道緯度圈越大來解釋。

　　但是，這種結(jié)果與我們的直覺相違背，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)完美的球體而言，通過旋轉(zhuǎn)，赤道可以變成任意一條經(jīng)線。

　　柯爾莫哥洛夫認(rèn)為，大圓是一條線段，面積是零，因此測(cè)度為零。這一悖論的矛盾之處就在于我們無法嚴(yán)格計(jì)算相關(guān)的概率。