二次互反律可以推廣到更高次的情況，如三次互反律等等。
高斯認為在自然數(shù)范圍內不能推出高次互反律，需要對數(shù)域進行擴張。
高斯找引入了復素數(shù)的概念，就是在自然數(shù)里是素數(shù)的，在復數(shù)里不簡單是素數(shù)，比如：5是自然數(shù)里的素數(shù)，但是在復數(shù)里是5=（1+2i）（1-2i），所以5是合數(shù)。但3不能這樣分解，所以3是復素數(shù)。
代數(shù)基本定理是每一個整數(shù)均可分解為素數(shù)的乘積，而且是唯一的，這被歐幾里得證明。高斯把它推廣到復數(shù)域，也是成立的。
高斯最終找到了形如4n+1的素數(shù)是復素數(shù)的情形，這些素數(shù)可以分解為復的因數(shù)。
引入了復素數(shù)的概念，四次互反律也變得簡潔。
艾森斯坦和雅克比證明了這一點，有優(yōu)先權之爭。
雅克比和艾森斯坦都發(fā)現(xiàn)了三次互反律。
但需要在本原3次根中去考慮的整環(huán)。
所以高次互反律需要考慮告次根的整環(huán)才行。