第二百六十章 高斯證明二次互反率（環(huán)論、數(shù)論）

　　求解多項式方程是代數(shù)學(xué)中的重要問題。

　　求解同余多項式也是數(shù)論中的重要問題，當(dāng)最高次項是任意數(shù)時，就變得尤為困難了。

　　然后從17世紀(jì)到18世紀(jì)，費馬、歐拉、拉格朗日和勒讓德等數(shù)論學(xué)家對二次剩余理論作了初步的研究，證明了一些定理并作出了一些相關(guān)的猜想，但首先對二次剩余進行有系統(tǒng)的研究的數(shù)學(xué)家是高斯。他在著作《算術(shù)研究》中首次引入了術(shù)語“二次剩余”與“二次非剩余”。

　　X^2=q(mod p)，這里p和q都是素數(shù)，（p/q）(q/p)=(-1)^(p-1)/2(q-1)/2成立。

　　就是一個數(shù)的平方除以一個數(shù)得到的余數(shù)這樣的問題。

　　后來應(yīng)用到噪音工程學(xué)、密碼學(xué)和大數(shù)分解上。

　　而想要了解二次剩余，就需要用二次互反律，二次互反也是經(jīng)典數(shù)論中的定理之一。

　　在數(shù)論中，特別是在同余理論里，二次互反律是一個用于判別二次剩余，即二次同余方程之整數(shù)解的存在性的定律。

　　高斯給了7個二次互反的證明，后來的之后雅可比、柯西、劉維爾、克羅內(nèi)克、弗洛貝尼烏斯等也相繼給出了新的證明。

　　至今，二次互反律已有超過200個不同的的證明。

　　二次互反律被稱為“數(shù)論之釀母”，在數(shù)論中處于極高的地位。后來希爾伯特、塞爾等數(shù)學(xué)家將它推廣到更一般的情形。

　　后來數(shù)學(xué)家從二次互反律的證明里，得到了數(shù)學(xué)中同余的互反。

　　而同余思想跟有限域是有關(guān)系的，那么數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)有限域也有互反。

　　有限域跟模形式有關(guān)系，那么數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)模形式也有互反。

　　而模形式與艾森斯坦級數(shù)有關(guān)系，那么數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)級數(shù)有互反，級數(shù)往往用狄利克雷級數(shù)來表示。