ω:
它代表的是最小的無限，是無限的起點(diǎn)！
它相當(dāng)于{1，2，3……}，但這個序列無論怎么改變，最終結(jié)果都只能是ω
無限和有限的差距本質(zhì)上是不可到達(dá)的
ω*n:
首先你要承認(rèn)超限序數(shù)ω+1成立
那么你就能獲得{ω，ω+1，ω+2…}如果沿著這條序列繼續(xù)走下去，就會得到這一切的極限ω*2(簡寫為ω2)之后(ω2)+1……
ω稱之為第一個無限，ω2稱之為第二個無限
但是要注意一點(diǎn)：第一個無窮與第二個無窮之間穿插了一套有限……所以二者的差距從某種意義上也是不可到達(dá)的！
ω^n：
{ω，ω*2，ω*3…}如果我們順著這個序列無限的走下去，最終，我們會得到一個極限：ω*ω=ω^2
{ω^2，(ω^2)+1……}順著這條序列走下去，就相當(dāng)于ω^2+ω
以此類推，直到把最右邊的ω變成ω^2，也就是到達(dá)((ω^2)*2)，這相當(dāng)于把通往ω^2的路程再次重復(fù)一遍
同理，(ω^2)*3就是把這個路程重復(fù)兩遍
然后順著序列{ω^2，(ω^2)*2……}
最終得到(ω^2)*ω=ω^3，相當(dāng)于把通往自身的路徑重復(fù)無窮次，之后以此類推……
需要注意的是：(ω^3)*2是將通往“ω^3”的路徑重復(fù)一遍
因為是“自身”
之后同樣如此…
ω^ω:順著一個序列{ω，ω^2，ω^3…}無限的走下去，就能得到這個結(jié)果
但是要注意，ω^2把通往自身的路徑重復(fù)無限次才相當(dāng)于ω^3，然后ω^3把通往自身的路徑重復(fù)無限次才相當(dāng)于ω^4………
ω^ω^ω:
從上文我們知道了ω^n把通往自身的路徑重復(fù)無限次就相當(dāng)于ω^(n+1)，現(xiàn)在我們一直走下去，得到一個ω^ω
但這并不是我們的終點(diǎn)
我們還可以把通往ω^ω的路徑重復(fù)無限次，于是乎，我們得到了：ω^(ω+1)
我們再次進(jìn)行“將自身路徑重復(fù)無限次”的操作，并且將這個操作進(jìn)行無限次(一級操作)
我們就得到了ω^(ω*2)
然后我們進(jìn)行“把自身路徑重復(fù)無限次，并且將這個操作重復(fù)無限次”無限次(二級操作)
這樣就得到了ω^ω^2
相信已經(jīng)看出了規(guī)律，n級操作就是n-1級操作重復(fù)無限次
以此類推得到ω級操作
把ω級操作重復(fù)無限次就來到了ω^ω^ω
ε0:
它的大小以自然語言描述很難，以作者的水平只能大概說出一個層級，它大約是：
ω級操作集操作……，但是，如果只是單純的無腦迭代，那永遠(yuǎn)就只能停留在這個不動點(diǎn)層級
ω[4]ω=ε0(從這里開始卡不動點(diǎn))
ω[ω]ω=ε0
…………
無論你中間的東西多么的巨大，龐大，甚至你一直可以迭代到人類想象力的盡頭……都會卡在不動點(diǎn)ε0
可以這么理解:ε0相對于ω的任意運(yùn)算是【不可到達(dá)】的
但有方法可以脫離不動點(diǎn)：
ε0+1：
是的，僅僅只需要一個簡單的+1便可以了，不需要那么多花里胡哨的迭代，或者，你可以把高德納箭頭的定義改成左結(jié)合的，這樣同樣不會卡不動點(diǎn)
ε1:
它相當(dāng)于ε0↑↑ω
也就是ε0^ε0^ε0……
指數(shù)塔運(yùn)算的復(fù)雜程度，前面已經(jīng)講過了，需要進(jìn)行類似n級操作……
但需要注意，這里的“自身”比前文不知道要大多少……
同樣可以這么理解：ε1相對于ε0的任意運(yùn)算是【不可到達(dá)】的
εω:
然后ε1^ε1^ε1……=ε2
，以此類推，如果順著一個序列{ε0，ε1，ε2……}一直走下去，就會得到εω
同樣可以這么理解：ε(n+1)相對于ε(n)的任何運(yùn)算是【不可到達(dá)】的
ζ0:
如果你順著這個定義一直走下去，εω，ε(ω+1)，ε(ω+2)……
最后你就會得到ε(ω2)
括號內(nèi)的東西貌似又回到我們最熟悉的起點(diǎn)了……
，我們沿著這個定義一直走下去，讓括號內(nèi)的東西變成“ε0”
這樣才得到εε0
不過要注意：
要使得括號內(nèi)的東西加一要多么的復(fù)雜………
然后我們讓括號內(nèi)的東西一直經(jīng)歷我們之前所經(jīng)歷的一切，得到了“εεω”
這個時候我們的定義就有了兩層的括號，也就是：
ε(ε(ω))
最外層括號經(jīng)歷我們之前說的那一大堆n級操作……的極限后，才能使得第二層括號加一，也就是變成：ε(ε(ω)+1)
當(dāng)我們第二層括號內(nèi)的東西也經(jīng)歷那么一大堆n級操作后，才能使得第三層括號加一，也就是變成了：
ε(ε(ω+1))
以此類推……可想而知擁有無限層括號的時候，其進(jìn)制是多么的恐怖
這一切的極限
εεε…=ζ0
η0:
ε的括號關(guān)系都如此恐怖了，現(xiàn)在描述一下ζ的世界：
首先，因為ζ0是一個關(guān)于ε的不動點(diǎn)，所以
ε(ζ0)=ζ0
所以此時，ζ相對于ε整體是【不可到達(dá)】的
然后，使得ζ0進(jìn)行級操作……(n級操作他是對通往自身的路徑無限次的無限次……進(jìn)行操作，這里的自身比前文的自身大到不知道哪里去)
這樣就能得到ε(ζ0+1)
注意，這里的加一打破了不動點(diǎn)，因此可以這么寫
然后經(jīng)歷我們之前講的ε序數(shù)層級……(這里的“自身”遠(yuǎn)比之前講的大很多)
然后ε(ε(ε(……ζ0+1))…)=ζ1(括號里的ζ0+1表示(ζ0)+1，該+1僅為打破不動點(diǎn))
ζ1再經(jīng)歷上文ε序數(shù)的層級(ζ1放入ε層級的底層)
，最后再次經(jīng)歷這一切的極限得到ζ2
{ζ0，ζ1，ζ2……}順著這一直走下去……得到ζ(ω)
ζ層級最外層+1需要將它重新放入ε層級的底層…
一直到括號里的東西變成ζ0(也就是到達(dá)層級ζζ0)
這個時候就來到了ζ的二層括號
ζ(ζ(0))，再次把它放到ε層級的底層，循環(huán)往復(fù)到極限才能使得第一層括號加一，也就是變成了：
ζ(ζ(0)+1)
當(dāng)?shù)谝粚永ㄌ杻?nèi)的東西大到能夠到達(dá)ζ0，也才僅僅是ζ(ζ(0)*2)
，你需要進(jìn)行的不只是“*2”，你還需要進(jìn)行次方運(yùn)算，更高級的ε運(yùn)算……以此類推，直到進(jìn)行到更高級的ε運(yùn)算的終點(diǎn)才相當(dāng)于ζ(ζ(1))
之后同樣如此：
最外層經(jīng)歷ε層級的一切，使得第二層加一，第二層內(nèi)的東西再一次經(jīng)歷ε層級的一切，使得第三層加1………
，以此類退無窮盡……，ζζζζ……(也就是擁有無窮層ζ括號)時，就相當(dāng)于η0了
φ(ω，0)：
現(xiàn)在，我們獲得了一個不動點(diǎn)計算器φ
ε(n)=φ(1，n)
ζ(n)=φ(2，n)
η(n)=φ(3，n)
首先，它的計算大概是：
φ(1，φ(1，φ(…))=φ(2，0)
φ(2，φ(2，φ(…)))=φ(3，0)，需要指出的是：η的層級中，想要使第二層括號中的東西+1，需要經(jīng)歷的是ζ的層級，而不是ε的層級
以此類推……
這時候我們大概知道了ε，ζ，η之間對應(yīng)的關(guān)系(ε表示第一個字母，ζ表示第二個字母……)
你可以由此推出第四個字母，這個字母中想要讓第二層括號內(nèi)的東西加一，需要經(jīng)歷η的層級
然后你推出第無窮個字母就相當(dāng)于φ(ω，0)了
，φ(1，0，0):它展開相當(dāng)于φ(φ(φ(…)，0)，0)
按照上文的字母，她大概相當(dāng)于第無窮個字母個字母個字母……循環(huán)往復(fù)無窮次，svo:它相當(dāng)于φ(1，0，0，0……)，也就是φ(1@ω)
φ(1@n)相當(dāng)于從右往左數(shù)第n+1個參數(shù)是1
它的運(yùn)算規(guī)則嘛……
φ(1，0，0)相當(dāng)于字母堆疊的極限
那φ(1，0，1)呢：
它相當(dāng)于第φ(1，0，0)個字母個字母個字母……
φ(1，0，2)相當(dāng)于第φ(1，0，1)個字母個字母個字母
φ(1，0，n)就相當(dāng)于φ(1，0，n-1)個字母個字母……，下一步我們需要將n換成更大的東西，比如說ω，ε0，ζ1，甚至是我們之前講的φ
讓我們來到這一切的極限：
φ(1，0，φ(1，0，φ(…)))
省略號表示省略無限次
這個極限就相當(dāng)于φ(1，1，0)
想必現(xiàn)在你也發(fā)現(xiàn)規(guī)律了吧？當(dāng)我們從右往左數(shù)第一個參數(shù)迭代到極限后，才能使得第二個參數(shù)加1，第二個參數(shù)迭代到極限后，才能使得第三個參數(shù)加一
，但不要忘了，哪怕是第一個參數(shù)加一都相當(dāng)于是極大的提升
φ(1，1，1)相當(dāng)于φ(1，0，…φ(1，0，φ(1，1，0))…)
注意，此處他迭代的不再是字母，而是對字母堆疊進(jìn)行迭代的φ(1，0，n)
也可以這么理解:φ(1，1，1)相當(dāng)于φ(1，1，0)塞入自身循環(huán)的最底層，再進(jìn)行一遍φ(1，0，…)的循環(huán)(注意，這里是塞入自身的循環(huán)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比再次經(jīng)歷一遍自身的路徑強(qiáng)很多)
，以此類推，φ(1，1，n)相當(dāng)于φ(1，1，n-1)塞入φ(1，0…)的循環(huán)
直接放出規(guī)律：
φ(1，n，0)相當(dāng)于φ(1，n-1，…)迭代嵌套的極限
φ(1，n，m)相當(dāng)于φ(1，n，m-1)塞入φ(1，n-1，…)循環(huán)的最底層
現(xiàn)在，對第二個參數(shù)進(jìn)行迭代，直到盡頭：
φ(1，φ(1，φ(…)，0)，0)
這個極限就相當(dāng)于φ(2，0，0)
之后的φ層級可以以此類推
φ(1，0，0，0)=φ(φ(φ(…)，0，0)，0，0)
每上升一個參數(shù)，都需要之前的所有參數(shù)迭代自身至盡頭
為了少寫幾個零，我們把這個迭代模式進(jìn)行簡寫：
φ(1@1)=φ(1，0)
φ(1@2)=φ(1，0，0)
φ(1@3)=φ(1，0，0，0)
……
以此類推，直到參數(shù)個數(shù)到達(dá)無窮個，也就是：
φ(1，0，0，0……)=φ(1@ω)=SVO
LVO:
無窮個參數(shù)當(dāng)然不是我們的極限，我們還可以用ω+1個參數(shù)
那么我們要如何獲得無限之后的參數(shù)呢：
首先，打破不動點(diǎn)SVO+1(加一打破不動點(diǎn))
旁邊的+1可以替換成任意的+n……
當(dāng)我們把通往SVO的路程再走一遍時，我們就來到了SVO*2
……
似乎又回到我們最熟悉的基礎(chǔ)運(yùn)算了
當(dāng)我們把通往SVO的路程走上SVO遍，我們就來到了SVO^2
然后進(jìn)行次方運(yùn)算……（次方運(yùn)算的強(qiáng)度前文有講）
當(dāng)我們來到次方的極限SVO^SVO^SVO^……時
這里應(yīng)該簡寫為φ(1，SVO+1)(加一打破不動點(diǎn))
，同理，之后就是進(jìn)行φ運(yùn)算（把SVO當(dāng)成底層，再次經(jīng)歷全文那上千字的循環(huán)）
那如果我硬要套高德納箭頭呢？
抱歉，SVO↑↑↑……SVO(箭頭數(shù)量無限個)
這也不過相當(dāng)于φ(ω，SVO+1)
當(dāng)然，前提是要把箭頭的定義改成左結(jié)合才會有如此之強(qiáng)的結(jié)果，不然的話就只能卡在第一個不動點(diǎn)，也就是φ(1，SVO+1)
繼續(xù)我們的旅途：
φ(1，SVO+1)
φ(1，0，SVO+1)
…………
最終到達(dá)這段旅途的極限φ(1，0，0，……SVO+1)
，這個極限簡寫為φ(1@ω，1)
然后我們可以對φ(1@ω，1)進(jìn)行乘法運(yùn)算，次方運(yùn)算，然后再經(jīng)歷前文上千字的φ運(yùn)算…
我們這段新的旅途的極限應(yīng)該是：
φ(1，0，0，……φ(1@ω，1))
這個極限簡寫為φ(1@ω，2)
以此類推……
當(dāng)我們進(jìn)行無窮次這樣的旅途時，就能得到：
φ(1@ω，ω)
但進(jìn)行無窮次這樣的旅途并不是終點(diǎn)！我們的終點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是進(jìn)行自身那么多次：
φ(1@ω，φ(1@ω，φ(…)))
當(dāng)?shù)竭_(dá)這樣一個極限后，我們便來到了φ的第二個“小極限”（SVO是第一個小極限，我個人比較喜歡管他叫小極限）
這樣的第二個小極限就是：φ(2@ω)
然后經(jīng)歷:
φ(2@ω，1)(這相當(dāng)于把φ(2@ω)放入φ的最底層，然后再次經(jīng)歷前文如此之多的循環(huán))，φ(2@ω，2)………
以此類推，直至極限：φ(2@ω，φ(2@ω，φ(…)))
這個極限相當(dāng)于φ(3@ω)
以此類推下去，我們可以得到φ(4@ω)，φ(5@ω)之類的東西
我們一直走下去，如果我們使得這個路程走上無限次：
那應(yīng)當(dāng)就是φ(ω@ω)
然后我們還可以有ω+1，ω2，ε0……
直到我們走上這段旅途的次數(shù)變成“自身”那么多次：
也就是來到了：φ(φ(φ(…)@ω)@ω)=φ(1@ω+1)
這時候，我們才將@符號右邊的東西“+1”
繼續(xù)這樣的操作，得到φ(1@ω+2)，φ(1@ω+3)…之類的東西
以此類推，直到這一切迭代嵌套的極限：
φ(1@φ(1@φ(…)))=LVO
ψ(Ω^^4):
在這之前，先簡單的介紹一下ψ和Ω：
首先是ψ，在不引入Ω的情況下，他應(yīng)該長這樣：
ψ(n)=ε(n)
對，就這么簡單
接下來引入Ω：
你可以簡單的把Ω理解為“除去他以外的無窮層迭代”
注意：迭代對象是除去他以外的自身
比如說
ψ(Ω)=ψ(ψ(ψ(…)))=εεε……=ζ0
這種情況下，我們只有一個Ω，如果我們有多個呢？
ψ(Ω+Ω)，對于這種情況，我們先想著展開最右邊的Ω：
ψ(Ω+ψ(Ω+ψ(…)))
，也就是說，ψ(Ω+…)這個部分此時是最右邊的Ω之外的部分，對于他之外的部分，我們需要把它展開迭代無窮次
哈…這么來看，這個函數(shù)更像是一種找層展開的游戲
當(dāng)然啦，ψ函數(shù)有一部分也能夠與φ對應(yīng)上
此處就直接放演算結(jié)論了，感興趣的可以自己演算一遍：
ψ(Ω)=ζ0
ψ(Ω*2)=ζ1
ψ(Ω^2)=η0
ψ(Ω^ω)=φ(ω，0)
ψ(Ω^Ω)=φ(1，0，0)
ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1，0，0……)=SVO
ψ(Ω^Ω^Ω)=LVO
從四層指數(shù)塔開始，就已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了φ函數(shù)所能表達(dá)的范圍
現(xiàn)在開始介紹LVO到ψ(Ω^^4)的差距：
首先，我們把這三層指數(shù)塔用括號括起來(方便分析):
ψ(Ω^(Ω^(Ω)))
可以看到，這里有三層括號
首先我們先試著讓最外層的括號加一：
ψ(Ω^(Ω^(Ω))+1)，它相當(dāng)于LVO^LVO^LVO……也就是ε(LVO+1)(暫時把它稱之為LVOO，但正經(jīng)學(xué)術(shù)討論中沒有LVOO這個名字，把它稱之為這個名字，僅是為了方便書寫)，那如果把+1換成+2呢：
ψ(Ω^(Ω^(Ω))+2)=LVOO^LVOO……
以此類推……
我們可以把2換成別的，甚至我們之前講的所有，直到我們把2換成“它本身”:
也就是ψ(Ω^(Ω^(Ω))+ψ(Ω^(Ω^(Ω))+ψ…)
但是，我們之前講了Ω就是除去他以外的無窮層迭代自身
所以上面那一長串東西的極限可以寫成ψ(Ω^(Ω^(Ω))+Ω)
然后把ψ(Ω^(Ω^(Ω))+Ω)這一部分看成“自身”
之后自身+自身+自身……=ψ(Ω^(Ω^(Ω))+(Ω+Ω))
(Ω+Ω)這一處可以簡寫為(Ω*2)
然后把上述部分再一次看成自身
之后自身+自身+自身……
這樣就可以來到+(Ω*3)
以此類推，一直重復(fù)這樣的操作“自身”那么多次：
這樣就來到了ψ(Ω^(Ω^(Ω))+(Ω*Ω))
同樣的道理，+(Ω*Ω)這一部分可以簡寫為+(Ω^2)
把上面進(jìn)行的那種操作稱之為一級超級操作
把一級超級操作重復(fù)“自身”那么多次：
這樣就得到了+(Ω^3)
，一級超級操作重復(fù)自身次，我們稱之為一次二級超級操作
再把二級超級操作重復(fù)自身那么多次：
+(Ω^4)
三級超級操作，四級超級操作……
當(dāng)我們進(jìn)行自身級超級操作后：
+(Ω^Ω)
近乎絕望…
我們把進(jìn)行自身次自身級超級操作稱之為一次一級超超級操作
然后以此類推…
進(jìn)行自身次超超超超……級操作(省略號表示省略自身個)：
+(Ω^Ω^2)
是的，我們之前所做的一切，只能讓第三層指數(shù)塔中的東西加上那么一點(diǎn)…
一場令人絕望的旅途…
定義究極操作：
一次究極操作表示把我們上面那些操作的循環(huán)經(jīng)歷自身次：
然后自身次究級操作相當(dāng)于一次二級究級操作……
然后究究級操作……
我們還可以在這之上定義任意多的名詞，比如什么終極操作，？？級操作，作者級操作……
當(dāng)我們經(jīng)歷了自身那么多個名詞，就來到了：
+(Ω^Ω^3)
把上面無限多個名詞的循環(huán)稱之為一次超級循環(huán)
把一次超級循環(huán)經(jīng)歷自身多個名詞的循環(huán)
這樣才能來到二級超級循環(huán)……
以此類推，同樣有超超級循環(huán)，超超超級循環(huán)……
我們還可以繼續(xù)：究極循環(huán)……
XX循環(huán)……
當(dāng)我們再次創(chuàng)造出自身那么多個名詞后，便來到了一個全新的起點(diǎn)：
+(Ω^Ω^4)
我們把那些名詞用XX代替，就會發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
XX操作，XX循環(huán)，XX……
操作，循環(huán)這些也可以看作名詞，然后再次創(chuàng)造自身那么多個類似“操作/循環(huán)”這樣的名詞，并且要注意一點(diǎn)：這些名詞的前面可以穿插任意多個名詞，任意多個名詞可以互相疊加……
當(dāng)我們創(chuàng)造自身那么多個類似操作/循環(huán)這樣的名詞，就來到了這片旅途的終點(diǎn)：
+(Ω^Ω^Ω)
那么很好！你已經(jīng)成功走完了一段旅途，讓我們把現(xiàn)在獲得的成果完整展開：
ψ(Ω^(Ω^(Ω))+Ω^(Ω^(Ω)))
你會發(fā)現(xiàn)，這段式子中出現(xiàn)了兩次Ω^Ω^Ω，相當(dāng)于自身加自身，那么我們便可以把它簡寫為*2，也就是：
ψ(Ω^(Ω^(Ω))*2)
如果我們走兩次我們上面說的那些旅途呢：
這樣我們就從*2到達(dá)了*3
別看我在這描述的輕描淡寫，事實上前者與后者的差距需要經(jīng)歷我上面說的那1000多字的旅途……旅途過程就不過多贅述了
讓我們經(jīng)歷自身次這樣的旅途：
ψ(Ω^(Ω^(Ω))*Ω)
這個東西相當(dāng)于ψ(Ω^(Ω^(Ω)+1))
嗯，沒錯，經(jīng)歷了這么多，我們只能讓第二層括號的東西加一
，再次經(jīng)歷一遍上述那些，就能獲得+2
經(jīng)歷自身那么多次：+Ω(操作0)
然后再經(jīng)歷自身次操作0：
+(Ω^2)(操作1)
經(jīng)歷自身次操作1:
+(Ω^3)
以此類推，直到操作(自身)
當(dāng)?shù)竭_(dá)操作(自身)，就相當(dāng)于：
ψ(Ω^(Ω^(Ω)*2))
再次經(jīng)歷上述所有，讓我們的*2變成*3…
當(dāng)我們到達(dá)*Ω(相當(dāng)于*自身)時，我們才可以使得第三層括號加一：
ψ(Ω^(Ω^(Ω+1)))
Ω+2，+3……此間的過程不再贅述
直到我們能使第三層括號變成Ω*Ω
這時候我們就能來到第四層括號的起點(diǎn)：
ψ(Ω^Ω^Ω^2)
我們把到達(dá)第四層括號起點(diǎn)的路徑重復(fù)自身那么多次：(一級路徑)
ψ(Ω^Ω^Ω^3)
我們再把上面這個路徑重復(fù)自身這么多次：(二級路徑)
ψ(Ω^Ω^Ω^4)
以此類推，直到自身級路徑：
ψ(Ω^Ω^Ω^Ω)=ψ(Ω^^4)
BHO:
如果我們再把上面的路徑重復(fù)自身那么多次：(二階一級路徑)
ψ(Ω^Ω^Ω^(Ω+1))
以此類推，二階自身級路徑：
ψ(Ω^Ω^Ω^(Ω*2))
自身階自身級路徑：
ψ(Ω^Ω^Ω^Ω^2)
把上述那些統(tǒng)一稱之為一次一變階層
然后一次二變，一次三變，一次自身變……
二次一變=ψ(Ω^^5)
以此類推，我們需要到達(dá)“ω次自身變”，才相當(dāng)于BHO
ψ(ψ_1(ω))：