夏希羽1982年版《初等代數(shù)數(shù)論入門》中文版前言

　　代數(shù)數(shù)論由初等數(shù)論起源，經(jīng)歐拉、高斯、費迪南·艾森斯坦和希爾伯特的努力成為一個數(shù)論分支，最終在本世紀得到全面的發(fā)展。

　　1900年，大數(shù)學(xué)家希爾伯特在第二屆世界數(shù)學(xué)家大會（巴黎）上提出了23個數(shù)學(xué)問題。對于其中4個代數(shù)數(shù)論問題的研究在很大程度上促進了20世紀代數(shù)數(shù)論的進步。

　　這個時期，代數(shù)數(shù)論研究出現(xiàn)了許多新思想和新方法（就我所知的包括賦值和局部域理論、局部-整體原則、padic分析、幾何和解析方法的引進等），與代數(shù)幾何、復(fù)分析、近世代數(shù)等結(jié)合在一起，產(chǎn)生了一系列重要的研究領(lǐng)域【類域論、模形式理論、代數(shù)曲線（特別是橢圓曲線）的算術(shù)理論、分圓域近代理論等】。

　　1973年，德林（P.Deligne）證明了高維韋依猜想，推動了算術(shù)幾何的發(fā)展，這項工作使他獲得了1978年的菲爾茲獎（數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最高獎，即數(shù)學(xué)界的菲爾茲獎，該獎項有年齡【頒獎當年必須在40周歲以下】和同屆獲獎人數(shù)【一般不超過四人】的特殊限制）。

　　在此之后，我有幸獨自于1980年下半年的短短數(shù)月期間，證明了具有超過三個世紀歷史的費馬猜想。但我必須說明的是，這是借助于現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論諸多方面的最新成就。

　　有關(guān)的三篇論文的中文版將會以附錄的形式出現(xiàn)在本書的末尾（見本書的附錄2、附錄3、附錄4），以便使用現(xiàn)代標準漢語的普通讀者更好地了解我所做的工作。

　　代數(shù)數(shù)論在20世紀后期不僅取得豐富的理論成果，而且在計算機科學(xué)和信息工程領(lǐng)域得到重要應(yīng)用。中國代數(shù)數(shù)論發(fā)展受國內(nèi)政治影響一直沒能成氣候。華羅庚先生早年曾布局讓陸洪文先生、裴定一先生、馮克勤先生等專家學(xué)者投入到這一領(lǐng)域的研究中，最終才有幸獲得了一個現(xiàn)已被公認為菲爾茲獎級別的成果。雖然暫不確定，但截至我寫下這段前言時，該成果的水平已在國際數(shù)學(xué)界得到了廣泛的高度認可，因此，于我而言，我“顯然”可以得到一個有趣的結(jié)論：即使我因為各種原因沒有得到菲爾茲獎，也至少可以證明這絕不是費馬猜想或者是我個人的問題。

　　此外，代數(shù)數(shù)論近年不僅在數(shù)學(xué)各分支體現(xiàn)著綜合，而且在理論物理中也有著人們意想不到的奇妙聯(lián)系。如：馬克斯·普朗克遵循許多前輩物理學(xué)家的理論和實驗工作經(jīng)驗，歷經(jīng)數(shù)年的深入研究之后，于1900年寫出了他的有關(guān)黑體輻射的能量分布公式，這標志著量子理論的起始。但似乎沒有人注意到，普朗克公式在低頻率（或者高溫度）的延拓可以得出伯努利數(shù)——雅各·伯努利（1654～1705）在概率理論中引進了以他自己名字命名的伯努利數(shù)。

　　在19世紀，這些概念與代數(shù)數(shù)論的基礎(chǔ)——模型式聯(lián)系了起來。這些模形式在傅里葉級數(shù)展開式中的整系數(shù)，在數(shù)論當中起著重要的作用，它們以重數(shù)的形式出現(xiàn)在對統(tǒng)計力學(xué)的闡釋之中。

　　值得慶幸的是，數(shù)論在本世紀的中國是主流數(shù)學(xué)，我的妹妹也受此影響，在跟隨巴黎第六大學(xué)的阿蘭·孔涅教授進行研究和學(xué)習(xí)之余，也開始對數(shù)論有些興趣。

　　前些日子，我的妹妹夏雯莉給我打電話的過程中，表示自己難以理解我在數(shù)論方面的微小成果，于是我決定在為希羽組研究所創(chuàng)收而創(chuàng)作科幻小說《黎明之劍》系列的后兩部之余，為她以及和她一樣的無數(shù)大中學(xué)生以及有足夠的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)愛好者編寫一本與代數(shù)數(shù)論有關(guān)的書籍——雖然主攻模糊數(shù)學(xué)及其有關(guān)學(xué)科的我也只是一個門外漢，最多算半個數(shù)論學(xué)家，但我卻覺得由一個外行來寫這樣的書最為合適。

　　雖然我對代數(shù)數(shù)論沒有太多了解，但我在完成費馬猜想的證明后，確信了代數(shù)數(shù)論最經(jīng)典、最基本的概念、方法和結(jié)論對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人來說是十分重要的，這些內(nèi)容應(yīng)當構(gòu)成大學(xué)數(shù)學(xué)系的一門必修課程。

　　數(shù)學(xué)的概念與方法愈來愈抽象化與一般化，大概是它本身發(fā)展中不可避免的現(xiàn)象。高觀點、抽象地講述數(shù)學(xué)對專家來說可能是一件十分方便的事情，但給初學(xué)者帶來很大的困難，而且對今后數(shù)學(xué)的發(fā)展可能并不是一件好事。

　　本書在初等數(shù)論的基礎(chǔ)與觀點之上，以盡可能少的抽象代數(shù)概念與方法，來具體地介紹代數(shù)數(shù)論中最經(jīng)典、最基本、因而也是最初等的內(nèi)容，所以本書取名為《初等代數(shù)數(shù)論入門》。但這些內(nèi)容正是代數(shù)數(shù)論發(fā)展起來的源泉，限于篇幅，本書沒有討論二元二次型的算術(shù)理論，盡管它也是代數(shù)數(shù)論開始發(fā)展起來的一個方面。

　　一個新概念或新方法，只有當它能解決已有的概念、方法所不能解決（或解決起來很復(fù)雜）的問題，顯示出它的優(yōu)越性時，才能證明引進它是必要的，并為人們所真正接受。因此，我們應(yīng)該知道從原有的（一般說來是較初等的）概念與方法能得到些什么結(jié)論，和怎樣得到這些結(jié)論的。這也有助于對新概念與新方法的理解和掌握。此外，我們認為計算是重要的，這不僅對應(yīng)用數(shù)學(xué)是這樣，對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)也是如此。這些也是我寫本書時所遵循的想法。

　　從本書的前面五章中，可以看到初等數(shù)論的內(nèi)容是如何推廣到所謂“二次代數(shù)整數(shù)環(huán)”——除有理整數(shù)環(huán)外最簡單的代數(shù)整數(shù)環(huán)——上去，以及這種推廣是如何有助于解決初等數(shù)論中的一些困難問題。學(xué)習(xí)這五章可對代數(shù)數(shù)論要研究的對象、基本內(nèi)容有一個極初步的了解，這些內(nèi)容對只想稍為知道一些代數(shù)數(shù)論知識的人，可能是足夠了。

　　此后的三章分別展現(xiàn)了國內(nèi)外代數(shù)數(shù)論及其有關(guān)學(xué)科的最新進展。這三章的內(nèi)容絕對不只是由我一個人完成——我在這三章的首頁列出了有關(guān)同志們的具體貢獻。他們并非是數(shù)論領(lǐng)域的愛好者，多數(shù)甚至沒有數(shù)學(xué)專業(yè)的背景，有些甚至和我一樣沒有本科學(xué)歷和學(xué)士學(xué)位，但并不耽誤他們憑借自己的專業(yè)知識和不同本領(lǐng)在這些內(nèi)容中做出了直接的貢獻。至于間接貢獻者就更多了，但限于篇幅和實際貢獻情況，故只列出直接貢獻者的有關(guān)信息。

　　根據(jù)在希羽組內(nèi)部推廣閱讀的反饋，筆者認為本書所需要的預(yù)備知識是：

　　初等數(shù)論（為方便起見，在第2章中不加證明地列出了它的主要內(nèi)容）、高等代數(shù)中的多項式理論、線性代數(shù)知識。僅在極個別的地方用到了一些微積分。各章配有數(shù)量不等的習(xí)題。

　　包括華羅庚先生在內(nèi)的多位有關(guān)領(lǐng)域的國內(nèi)外專家仔細了解了我們寫這本書的想法和審閱了書稿（依據(jù)各位國內(nèi)外專家的母語，分別交付了中、英、法、日四語中的一個版本），提出了寶貴的指導(dǎo)意見與許多具體修改意見。按照他們的意見，我逐一作了相應(yīng)的修改、說明。對此我們表示衷心的感謝！此處不多做贅述——在附錄1中對有關(guān)同志對本書的不同支持做出如實記載，并記載了他們的生平經(jīng)歷及經(jīng)過希羽組研究所證實的個人資料。

　　本書的寫作由我個人財產(chǎn)提供經(jīng)濟上的支持，與創(chuàng)作期間的個人生活開銷一樣，所有出版環(huán)節(jié)產(chǎn)生的費用均沒有接受其他個人、希羽組研究所及其他機構(gòu)、組織或國家的任何經(jīng)濟上的直接和間接幫助。

　　在各語言版本的出版、發(fā)行的過程中，我國的商務(wù)印書館、美國的哈佛大學(xué)出版社、法國的巴黎第六大學(xué)出版社、櫻國的有斐閣分別對本書的中、英、法、日四語版本的出版給予了大力支持。

　　由于我本人的研究范圍十分狹窄，對代數(shù)數(shù)論也知之甚少，本書實質(zhì)上是我在研究費馬猜想前后進行短期學(xué)習(xí)體會的一點總結(jié)，缺點、錯誤在所難免，請大家指正。

　　夏希羽

　　寫于一九八二年六月一日清晨