概念：
大基數(shù)公理(large cardinal axioms)是關(guān)于大基數(shù)存在的一類新加公理。設(shè)有關(guān)于基數(shù)α的一條性質(zhì)P(α)，它是可以用ZFC系統(tǒng)的語言形式描述的，盡管人們根據(jù)直覺相信，有很大的α使P(α)為真，但卻不能在ZFC系統(tǒng)內(nèi)證明“?αP(α)”這一命題。人們?nèi)魧?αP(α)作為公理加入到ZFC系統(tǒng)之中，就稱之為一條大基數(shù)公理，滿足P(α)的α稱為大基數(shù)。大基數(shù)的種類很多。一般地，P(α)都是ω(其基數(shù)為0)的某個性質(zhì)向不可數(shù)基數(shù)的推廣，因而，可以說大基數(shù)公理是無窮公理的自然延伸，是人類對無窮世界的認識進一步深化的產(chǎn)物。例如，不可達基數(shù)是將ω的“集論運算的不可到達性”推廣到不可數(shù)基數(shù)而得到的大基數(shù)。弱緊基數(shù)則是將ω所滿足的分劃關(guān)系ω→(ω)22推廣至不可數(shù)基數(shù)而得到的。從這個角度看，大基數(shù)公理為人們所樂于接受。增加了大基數(shù)公理之后，人們可以對集合論中某些懸而未決的問題做出一定程度的回答。例如，若存在強不可達基數(shù)κ，則ZFC相容；若存在拉姆齊基數(shù)，則V≠L，即可構(gòu)造公理不真；若存在強緊基數(shù)κ，則V≠L[X]對任何集合X成立，又對于任何大于κ的奇異強極限基數(shù)λ，2λ=λ+，這對廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)做出了。
基數(shù)：
大基數(shù)是集合論用語。滿足某些特殊性質(zhì)的不可數(shù)基數(shù)。如“不可達基數(shù)”、“可測基數(shù)”、“超緊基數(shù)”等都是大基數(shù)。其中，不可達基數(shù)是最小的大基數(shù)。在公理集合論ZFC系統(tǒng)中，既不能證明大基數(shù)存在，也不能否認大基數(shù)存在。?
由來：
大基數(shù)的研究由來已久。例如，早在1911年，就開始了對今天稱為馬赫羅(Mahlo，P.)基數(shù)的一類基數(shù)的研究；1930年后，就提出了不可達基數(shù)和可測基數(shù)的概念。但在20世紀60年代之前，這種研究是零星的、分散的。直到20世紀60年代，人們才將大基數(shù)公理作為集合論的附加公理來加以研究。近年來，含大基數(shù)的內(nèi)模型成為集合論研究的熱點。人們更習慣于用從全域V到某傳遞類M的非平凡的基本嵌入(elementary embedding)j：V→M來描述大基數(shù)公理。設(shè)κ為j的臨界點，即最小的滿足j(α)=α的序數(shù)，記為κ=crit(j)。此時，V和M越相似，所引入的大基數(shù)公理越強。例如，如果M?M，則稱κ為λ超緊基數(shù)；如果對任意為λ≥κ，κ為λ超緊基數(shù)，則稱k為超緊基數(shù)；如果Vj(k)?M，則稱k為超強基數(shù)；如果對于任意的f：κ→κ，存在j′：V→M′使得crit(j)=k且V?M′，其中M′是傳遞的，則稱κ為謝拉赫基數(shù)；如果對于任意的f：κ→κ，存在δ<κ，使得f在δ中封閉且存在j′：V→M′滿足crit(j′)=δ且V(j(f)(κ)?M′，其中M′是傳遞的，則稱κ為鄔丁基數(shù)。如果Vλ?M，則稱κ為λ強基數(shù)。λ超緊基數(shù)是以色列學者索洛韋(Solovay，R.M.)引入的。λ強基數(shù)和超強基數(shù)這兩個概念是從米雪爾(Mitchell，W.)的工作中提取出的。謝拉赫基數(shù)是分別根據(jù)他們發(fā)現(xiàn)的大基數(shù)性質(zhì)而命名的?？梢宰C明：?[2]?
1.若κ是2超緊基數(shù)，則存在κ個小于k的超強基數(shù)。
2.若κ是超強基數(shù)，則κ是謝拉赫基數(shù)并且存在κ個小于κ的謝拉赫基數(shù)。
3.若κ是謝拉赫基數(shù)，則κ是鄔丁基數(shù)并且存在κ個小于κ的鄔丁基數(shù)。
4.若κ是鄔丁基數(shù)，則κ是不可達基數(shù)并且存在κ個小于κ的基數(shù)δ滿足對于任意的λ<k，δ是λ強基數(shù)。
作為公理集合論研究的三大主流之一，大基數(shù)公理的研究與可構(gòu)造性及力迫法這兩者的研究有很大的不同：如果說后兩者對集合論中的相容性與獨立性進行精細的探討與刻畫的話，那么前者則是充分使用各種數(shù)學工具，開拓越來越豐富的集合論研究對象。
用公理及邏輯的方法研究無限集與超窮數(shù)的數(shù)學理論，是數(shù)理邏輯的主要分支之一。
康托爾于19世紀70～80年代的一系列工作開創(chuàng)了對無窮集的研究。他同時還提出了著名的連續(xù)假設(shè)。1900年前后，人們在康托爾集論中發(fā)現(xiàn)了一系列悖論。消除悖論的途經(jīng)之一是公理方法。策墨羅于1908年發(fā)表了集論的第1個公理系，后經(jīng)佛蘭克爾等人的擴充與完善，成為周知的ZF公理系。另一種公理系是由哥德爾與貝爾奈斯等人提出的，稱為GB公理系，其中另引入了類的概念。選擇公理(AC)早已被人隱蔽地應(yīng)用了，但首先是由策墨羅明確提出;由于其不直觀性，能否作為集論公理曾有爭議。多年來，AC與CH是公理集論的中心問題。1938年哥德爾引入可構(gòu)造集概念，給出AC，CH與ZF的一個模型;1963年柯亨創(chuàng)造力迫法證明了AC與CH關(guān)于ZF獨立性。其后的發(fā)展是擴充ZFC (主要是引入大基數(shù)公理)來討論GCH及其他問題。集論發(fā)展的另一側(cè)面是強調(diào)它與分析、一般拓撲與測度論等分支的聯(lián)系，這是描敘性集論的主題。其中蘇斯林假設(shè)(S.H.)的獨立性及有關(guān)問題的研究，是公理集論的第2個中心問題。
ZF系的形式語言是只有一個二元關(guān)系符號∈的帶號的一階語言。ZF由下面8個公理組成。(1)外延公理。若X與Y有相同的元素，則X=Y。(2)無窮公理。存在無限集。下面5個公理是合法的基本造集規(guī)則。(3)配對公理。對集a與b，有一個集合恰好只含有a、b二個元素，記為{a，b}。(4)并集公理。對任集X，其并∪X也是集合。(5)冪集公理。對任集X，其所有子集全體P(X)仍是集合。(6)分離公理。對任集X及性質(zhì)P，Y={x∈X：x具有性質(zhì)P}是集合。(7)替換公理。F是一函數(shù)(在ZF系中是一導出概念)，對任集X，F(xiàn)[X]={F(x)：x∈X}是集合。在上述公理基礎(chǔ)上，樸素集論中的一系列基本運算與性質(zhì)均可導出。(8)正規(guī)公理。每個非空集含有一個∈-極小元(非空集關(guān)于∈是一偏序集)。應(yīng)用正規(guī)公理，我們可排除羅素悖論且建立起全體集合的累積分層體系。利用分離公理取代概括原理(指每一性質(zhì)確定一個集合)，便可避免關(guān)于最大序數(shù)與基數(shù)的悖論。選擇公理AC：對任非空集S，存在函數(shù)f滿足，對任X∈S，若X≠?則f(x)∈X。稱f為S的選擇函數(shù)。ZF添上AC簡記為ZFC。AC有許多不同形式的等價變形。例如，代數(shù)與分析中常用的曹恩引理，良序原理，拓撲中關(guān)于緊空間直積的吉洪諾夫(Tychonoff)定理等等。另外，無窮數(shù)學中的許多重要定理的證明都嶺不開AC(如戴德金無限與常規(guī)無限概念的等價性，線性空間基的存遮性，泛函中的哈恩-巴拿赫定理，L-不可測集的存在性等)。但由AC(及ZF)也可推出一些怪異的結(jié)論，如分球怪論?，F(xiàn)已知道，AC與?AC都分別與ZF相容，這情形類似于平面幾何中的平行公設(shè)。CH與SH是另2個著名的獨立性命題。實數(shù)序有一個特征：稠密完備的線性序，無界且有可數(shù)稠密子集。蘇斯林問：能否把最后一條件即可分性，換成較弱的“每一非交的開區(qū)間族可數(shù)”?他猜想這不成立，此即SH。