第十一章 BSD猜想

　　坎特正色道：“龐先生，您提出的這個方案，我一定請薩伊女士慎重考慮，但能否實施，還得經(jīng)過聯(lián)合國安理會的討論?！?p>　　他們這幾人，都是少數(shù)知道三體文明將要入侵地球的人類精英，也看過三體文明的資料，在地球基礎(chǔ)科學(xué)已經(jīng)被智子鎖死的情況下，他們對于人類文明能否在四百年后與三體人的戰(zhàn)爭中幸存下來幾乎不抱任何希望。

　　但龐學(xué)林提出的這個方案，卻是迄今為止第一次讓他們感覺到一絲希望的反擊計劃，同時對于這個計劃的提出者龐學(xué)林，也生出一絲敬畏之心。

　　龐學(xué)林微笑道：“那就有勞坎特先生了?！?p>　　接下來，眾人又聊了一會兒降臨派的話題。

　　龐學(xué)林從史強口中，得到了他和弗瑞德、格蘭特三人為什么會這么快就被找到的原因。

　　原來“審判日”號在進入向風海峽前，就已經(jīng)被美軍的弗吉尼亞級核潛艇盯上了。

　　當天晚上他們搭乘救生艇從審判日號上出來，也一直在核潛艇的監(jiān)控之中。

　　只是后來他們從古巴登陸，然后進入圣地亞哥躲藏，才算失去了他們的蹤跡。

　　雖然幾天后的“古箏行動”取得成功，但在“審判日”號內(nèi)并沒有發(fā)現(xiàn)三體文明的相關(guān)資料，而太子港下船的那些降臨派，幾乎同樣被一網(wǎng)打盡的情況下，也沒找到三體文明的信息。

　　他們?nèi)说男雄欉@才被重視起來，在古巴政府的積極配合下，很快就定位到了三人躲藏的民宿。

　　隨后，美軍出動部署在關(guān)塔那摩的“三角洲”部隊，準備悄無聲息地將三人一網(wǎng)打盡，卻沒想到三人發(fā)生了內(nèi)訌，唯有龐學(xué)林存活。

　　而且在民宿的閣樓內(nèi)，“三角洲”部隊還發(fā)現(xiàn)了已經(jīng)被燒毀的儲存有三體文明資料的硬盤。

　　原本人類一方都已經(jīng)認定針對“審判日”號的行動失敗，降臨派已經(jīng)徹底銷毀了三體文明的相關(guān)資料。

　　誰也沒有想到，第二天事情峰回路轉(zhuǎn)，在聯(lián)合國以及安理會五大常任理事國的公共郵箱中，收到了存有三體文明所有資料的郵件，而發(fā)件人，正是被弗瑞德用槍擊傷的龐學(xué)林。

　　因此，龐學(xué)林也得到了聯(lián)合國的重視，在他還處于昏迷的時候，便通過專機來到了紐約大學(xué)醫(yī)學(xué)中心。

　　史強說的這些信息和龐學(xué)林猜測的出入不大，又聊了大約半小時，三人這才告辭離去。

　　龐學(xué)林也松了口氣，雖然這次受傷不輕，但還是達到了自己想要的結(jié)果。

　　有了聯(lián)合國的庇護，接下來自己就可以安安心心在三體世界搞研究了。

　　現(xiàn)在是三體世界的2007年，距離面壁計劃真正開始實施，還有兩年時間，足夠自己浪。

　　他閉上眼睛，調(diào)出系統(tǒng)，開始研究系統(tǒng)給出的BSD猜想的證明全文。

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　　BSD猜想，全稱貝赫和斯維納通-戴爾猜想。

　　自上世紀五十年代以來，數(shù)學(xué)家便發(fā)現(xiàn)橢圓曲線與數(shù)論、幾何、密碼學(xué)等有著密切的關(guān)系。

　　例如，懷爾斯（Wiles）證明費馬最后定理，其中一個關(guān)鍵步驟就是用到橢圓曲線與模形式(modularform)之間的關(guān)系（谷山-志村猜想）。

　　BSD猜想就是與橢圓曲線有關(guān)。

　　上世紀六十年代，英國劍橋大學(xué)的貝赫與斯維納通-戴爾利用電腦計算一些多項式方程式的有理數(shù)解時發(fā)現(xiàn)，這種方程通常會有無窮多解。

　　然而要如何給出無窮多解呢？

　　其解法是先分類，典型的數(shù)學(xué)方法是同余并藉此得同余類，即被一個數(shù)除之后的余數(shù)。

　　但是無窮多個數(shù)不可能每個都是需要的，數(shù)學(xué)家們便選擇了質(zhì)數(shù)，所以從某種程度上說，這個問題還與黎曼猜想Zeta函數(shù)有關(guān)。

　　經(jīng)過長時間大量的計算與資料收集，貝赫和斯維納通-戴爾觀察出一些規(guī)律與模式，因而提出BSD猜想：設(shè)E是定義在代數(shù)數(shù)域 K 上的橢圓曲線，E(K)是 E 上的有理點的集合，已經(jīng)知道 E(K)是有限生成交換群。記 L(s，E)是 E 的Hasse-Weil L函數(shù)。則E(K)的秩恰好等于L(E，s)在s=1處零點的階，并且后者的Taylor展開的第一個非零系數(shù)可以由曲線的代數(shù)性質(zhì)精確表出。

　　前半部分通常稱為弱BSD猜想，后半部分則是BSD猜想分圓域的類數(shù)公式的推廣。

　　目前，數(shù)學(xué)家們僅僅證明了rank=0和1的弱BSD猜想成立，對于Rank≥2部分的強BSD猜想，依舊無能為力。

　　此前龐學(xué)林也是沿著格羅斯、科茨走的那條路線，嘗試在rank=0和1的基礎(chǔ)上，推出rank≥2的BSD猜想，卻發(fā)現(xiàn)漸漸走進了死胡同。

　　最近半年內(nèi)，他始終沒有任何進展。

　　因此，他非常好奇，系統(tǒng)給出的證明過程，到底采用了什么思路。

　　龐學(xué)林打開BSD猜想證明論文，看了起來。

　　BSD猜想的證明一共有六十多頁，對對一個千禧難題級別的猜想而言，顯得過于精簡了一些。

　　不過這并不重要，當年佩雷爾曼證明龐加萊猜想的時候，才用了三十多頁，因為過程太過簡略，好多人都看不懂，在數(shù)學(xué)界的強烈要求下，佩雷爾曼勉強又補充了兩篇文章，之后便再也不肯多給了。

　　但這并不妨礙佩雷爾曼的偉大。

　　因此，論文的長短并不重要，關(guān)鍵要看論文的質(zhì)量。

　　龐學(xué)林并沒有從開頭開始細讀，而是先粗略瀏覽。

　　粗略瀏覽，有助于他從整體上了解BSD猜想的證明思路。

　　不過很快，龐學(xué)林的眉頭便皺了起來。

　　論文的開頭，便給出了一個與當前數(shù)學(xué)界截然不同的思路。

　　論文的第一部分，寫得是關(guān)于同余數(shù)問題的證明，即存在無窮多個素因子個數(shù)為任何指定正整數(shù)的同余數(shù)。

　　然后，推導(dǎo)出BSD對這樣的E_D成立：D是某個8k+5型素數(shù)和若干8k+1型素數(shù)的乘積，只要\Bbb Q(\sqrt{-D})的類群的4倍映射是單的。

　　這就有意思了。

　　雖然當前數(shù)學(xué)界，已經(jīng)有人嘗試通過同余數(shù)問題去證明BSD猜想。

　　但這條路難度太大，還處于萌發(fā)狀態(tài)，目前國際數(shù)學(xué)界并沒有出現(xiàn)太多的成果。

　　這篇論文的出現(xiàn)，說明當前流行的BSD猜想證明方法，最終都會走向死胡同。

　　通過同余數(shù)問題證明BSD猜想，才是正確的思路。

　　龐學(xué)林凝神屏氣，繼續(xù)看下去。

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　　給定素數(shù)p，(1)p \equiv 3(\mod 8)：p不是同余數(shù)但2 p是同余數(shù)；(2)p \equiv 5(\mod 8)：p是同余數(shù)；(3)p \equiv 7(\mod 8)：p和2 p都是同余數(shù)。

　　(弱BSD猜想)BSD猜想對E_D成立。特別的，r_D>0當且僅當L(1，E_D)=0。

　　假定弱BSD猜想成立，則(1)理論上我們能夠判定D是否為同余數(shù)；(2)Tunnell定理給出在有限步內(nèi)決定D是否為同余數(shù)的算法；(3)可以證明D \equiv 5，6，7(\mod 8)時r_D為奇數(shù)，故這樣的D均為同余數(shù)。

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　　根據(jù)Heegner點的高度理論——著名的Gross-Zagier公式可以將其與L'(1，E)聯(lián)系起來。

　　而基于Eichler， Shimura在模橢圓曲線方面的工作以及新近證明的Taniyama–Shimura猜想(模定理)，可以將L(s，E)解析延拓到整個復(fù)平面并且相應(yīng)的Riemann猜想成立。

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　　這一看，便不知時間流逝。

　　也不知過了多久，龐學(xué)林總算將整篇論文粗略看完，長長舒了口氣。

　　雖然對于這篇論文，還有很多細節(jié)，很多問題需要解決，但是在整體證明思路上，龐學(xué)林卻感覺沒什么問題。

　　而且對整個BSD猜想的證明，龐學(xué)林也有種豁然開朗的感覺。

　　有了正確的思路，即使沒有這篇論文，他也能將BSD猜想的證明過程完全推導(dǎo)出來。

　　龐學(xué)林這才睜開眼，一扭頭，便發(fā)現(xiàn)不知不覺天已經(jīng)黑了，之前見過的那名金發(fā)碧眼的小護士正在他身旁忙碌。

　　看到龐學(xué)林睜開眼，她不由得面露喜色，說道：“天哪，龐，你終于醒了！”

　　龐學(xué)林微微一愣，目光在護士MM的身份牌上掃過，疑惑道：“奧莉薇婭，我……我這是睡了多久??？”

　　奧莉薇婭道：“你都睡了三天三夜了，醫(yī)生還擔心你出了什么問題，這兩天又是給你做顱腦CT，又是各種抽血化驗，結(jié)果顯示你的身體健健康康，只是睡著了，誰也說不明白你為什么會睡這么久?！?p>　　龐學(xué)林不由得吃了一驚，這種爆肝研究，他在現(xiàn)實世界雖然也干過，但大多都因為需要睡眠、補充食物給打斷了。

　　沒想到這次躺在病床上，自己竟然整整研究了三天三夜，而且醒來后，他并沒有那種爆肝的疲憊感，反而有種說不上來的神清氣爽。

　　難道說，閉上眼睛進入系統(tǒng)后，即使自己是在里面做研究，也只是相當于進入了深度睡眠？

　　假如真是這樣，那么借助系統(tǒng)，自己的研究效率說不定還能得到提高。

　　龐學(xué)林的眼睛不由得亮了起來。

　　一直以來，龐學(xué)林并不覺得自己是天才，相比于歷史上那些大名鼎鼎的人物，他在學(xué)術(shù)界取得的成就微不足道。

　　但龐學(xué)林也有自己的追求。

　　他希望有一天，自己能真正憑借自己的力量解決千禧級別的難題，希望有一天，自己的名字能和歷史上那些閃閃發(fā)光的數(shù)學(xué)家相提并論。

　　因此，他需要不斷地提升自己的學(xué)習(xí)和研究效率。

　　或許在旁人眼中，龐學(xué)林已經(jīng)是天才級別了，但龐學(xué)林自己卻并不這么認為。

　　世界上那些所謂的天才學(xué)霸，之所以能夠達到封神的高度，并非他天生就比別人聰明，只是因為他有著良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和高效的學(xué)習(xí)效率。

　　別的不說，龐學(xué)林自己之所以能取得如今的成就，是因為十年如一日，每天超過十小時以上的高強度學(xué)習(xí)。

　　即使這樣，他在國際數(shù)學(xué)界，也僅僅只是剛剛展露頭角的青年數(shù)學(xué)家，距離那些頂尖大牛，還有很長一段路要走。

　　天才是百分之一的靈感加上百分之九十九的汗水，但沒有百分之九十九的汗水，哪來那百分之一的靈感！