第六百五十二章 鏡對(duì)稱

　　卡拉比-丘空間的熱潮，始于 1984年，當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家，開始了解到這些復(fù)空間或會(huì)用于新興的理論上。

　　熱情持續(xù)了幾年，便開始減退了。

　　可是到了上世紀(jì) 80年代末期，格林恩（Brian Greene）、普列瑟（Ronen Plesser）、坎德拉斯等人開始研究鏡對(duì)稱（mirror symmetry）時(shí)，卡拉比-丘空間又重新成為人們的焦點(diǎn)。

　　鏡對(duì)稱乃是兩個(gè)具有不同拓樸的卡拉比-丘空間，看起來沒有什么共通點(diǎn)，但卻擁有相同的物理定律。

　　具有這樣關(guān)系的兩個(gè)卡拉比-丘空間稱為“鏡伴”（mirror partner）。

　　1995年，史聰閔格、札斯洛（Eric Zaslow）和我提出一個(gè)猜想，對(duì)卡拉比-丘空間的子結(jié)構(gòu)提供洞識(shí)，為鏡對(duì)稱給出解釋。根據(jù)這個(gè) SYZ猜想的理論，六維卡拉比-丘空間本質(zhì)上可以分成兩個(gè)三維空間，其中之一是三維環(huán)面。

　　如果模仿把半徑 r變成 1/r的操作，把這些三維環(huán)面“翻轉(zhuǎn)”，并與另一個(gè)三維空間結(jié)合起來，就會(huì)得到原卡拉比-丘空間的鏡伴。

　　這個(gè)猜想提供了鏡對(duì)稱的幾何圖象，盡管目前只在一些特殊情況下被證明成立。

　　數(shù)學(xué)家把物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)的鏡關(guān)系搬過來，成為數(shù)學(xué)上強(qiáng)而有力的工具。

　　在某個(gè)卡拉比-丘空間上要解決的難題，可以放到它的鏡伴上去考慮，這種做法往往奏效。

　　例如有一個(gè)求解曲線數(shù)目的問題，懸空了差不多一個(gè)世紀(jì)，就是這樣破解的。

　　它使枚舉幾何學(xué)（enumerative geometry）這一數(shù)學(xué)分支，重新煥發(fā)了青春。

　　這些進(jìn)展令數(shù)學(xué)家對(duì)物理學(xué)家及弦論刮目相看。

　　鏡對(duì)稱是對(duì)偶性的一個(gè)重要例子。它就像一面窗，讓我們窺見卡拉比-丘空間的隱祕(mì)。利用它，我們確定了在五次三維形（一種卡拉比-丘空間）上給定階數(shù)的有理曲線的總數(shù)，這是一個(gè)非常困難的問題。

　　物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)兩個(gè)卡拉比-丘空間，雖然拓樸很不同，卻可能對(duì)應(yīng)到同一物理理論。這個(gè)性質(zhì)稱為鏡對(duì)稱，彼此對(duì)稱的雙方稱為鏡伴。

　　這一幕還說明了鏡對(duì)稱自有其深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。人們花了好幾年，到了 1990年代中后期，鏡對(duì)稱的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明，包括坎德拉斯等人的公式，才由吉文塔（Alexander Givental）以及連文豪-劉克鋒-丘成桐各自獨(dú)立完成。