第五百九十三章 高斯-博內(nèi)-陳定理（曲面幾何）

　　1827年，高斯證明了這一定理。

　　1944年，博內(nèi)將這一定理推廣到一般曲面上，由任一閉曲線C圍成的單連通區(qū)域，形成了著名的高斯-博內(nèi)公式.

　　1944年，陳省身給出了高斯-博內(nèi)公式的內(nèi)藴證明.

　　歐拉數(shù)雖然神秘有趣，可還是引不起數(shù)學(xué)家們的強(qiáng)烈興趣，原因是它太簡單了，小學(xué)生都可以很快弄懂這些數(shù)的來源，那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家們總是希望有個(gè)積分，微分什么的，以顯示其高深莫測，高斯那時(shí)候正在研究曲面和曲線的幾何學(xué)，對于各種曲率玩得和吃飯喝水似的，這個(gè)時(shí)候人們還沒有意識(shí)到彎曲可以是幾何的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)，而一般考慮嵌入曲率，第一個(gè)認(rèn)識(shí)到彎曲可以不需要嵌入的人是黎曼.

　　某天，對于沒有邊界的二維曲面，高斯搞了一個(gè)曲率做了一個(gè)積分，他發(fā)現(xiàn)，他能夠計(jì)算出歐拉數(shù)!很快他把這個(gè)公式推廣到帶邊界(二維面上有洞的情形)的二維曲面，同樣得到了相應(yīng)的歐拉數(shù).

　　高斯當(dāng)時(shí)應(yīng)該是沒有認(rèn)識(shí)到這個(gè)公式的巨大作用，以至于他懶得去發(fā)表這樣的結(jié)果，他認(rèn)為這種工作對他而言太簡單了，只和弟子們稍微討論了一下，然后，就轉(zhuǎn)去研究別的東西去了，可見這些宗師級的人物也有走眼的時(shí)候，幾年以后，博內(nèi)得到了同樣的結(jié)果.

　　令人興奮的是，我們導(dǎo)出黎曼曲率的途徑，還能夠讓我們一瞥高斯-博內(nèi)公式的風(fēng)采，真正體驗(yàn)一番研究內(nèi)蘊(yùn)幾何的味道.

　　高斯-博內(nèi)公式是大范圍微分幾何學(xué)的一個(gè)經(jīng)典的公式，它建立了空間的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)之間的聯(lián)系，而我們從一條幾何的路徑出發(fā)，結(jié)合一些矩陣變換和數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容，逐步導(dǎo)出了測地線、協(xié)變導(dǎo)數(shù)、曲率張量，現(xiàn)在還可以得到經(jīng)典的高斯-博內(nèi)公式，可見我們在這條路上已經(jīng)走得足夠遠(yuǎn)了，雖然過程不盡善盡美，然而，并沒有脫離這個(gè)系列的核心:幾何直觀.

　　在曲面上的形狀：角差變量=曲率K上的面積大小的積分。

　　變化量則表示為面積分。這就是微分幾何中的高斯-博內(nèi)公式的主要內(nèi)容，即角差等于高斯曲率的面積分，諸如球面三角形的內(nèi)角和等內(nèi)容都與它有關(guān)，它是整體微分幾何的開山之作之一