第五百三十五章 范疇論和函子（范疇）

　　1945年。

　　塞繆爾·艾倫伯格和桑德斯·麥克蘭恩在研究拓?fù)鋵W(xué)里的同調(diào)論，引進(jìn)了范疇論。在同態(tài)（具有幾何直觀）轉(zhuǎn)化成同調(diào)論（公理化方法）的過程中起了重要作用。不同的“拓?fù)洹眴栴}可以轉(zhuǎn)換至通常較易解答的“代數(shù)”問題之上。

　　在拓?fù)淇臻g上如基本群或基本群胚等基本的架構(gòu)，可以表示成由群胚所組成的范疇之間的基本函子，而這個概念在代數(shù)及其應(yīng)用之中是很普遍的。

　　桑德斯·麥克蘭恩說：“對象與對象之間不是孤立的，而是具有許許多多的“聯(lián)系”的。但是“聯(lián)系”是一種空泛的詞語，它既可以表示對象與對象之間所有聯(lián)系的集合，也可以表示對象與對象之間所有聯(lián)系之中的某一條聯(lián)系。為了使得描述的對象不那么空泛，我們用專有名詞“態(tài)射”來指代對象與對象之間所有聯(lián)系中的某一條聯(lián)系。”

　　塞繆爾·艾倫伯格說：“一堆對象，以及對象之間的所有態(tài)射所構(gòu)成的一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，便稱之為“范疇”。范疇可以看作集合的更高級產(chǎn)物，因?yàn)榧虾头懂牰己性S多的對象，但集合不強(qiáng)調(diào)態(tài)射，范疇強(qiáng)調(diào)態(tài)射。范疇本身也可以看作一個對象，所以范疇與范疇之間也會存在態(tài)射，范疇和態(tài)射又可以構(gòu)成新的范疇?！?p>　　烏拉姆說：“1930年，波蘭也有過類似想法，主要是Bourbaki總結(jié)了三種基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，范疇論將這三種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)歸結(jié)為一種。對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以統(tǒng)一化描述?！?p>　　桑德斯·麥克蘭恩說：“態(tài)射也可以看成一種對象，所以態(tài)射之間也會存在態(tài)射。而對象在某種程度上也可以看成一種態(tài)射，所以事實(shí)上，對象和態(tài)射其實(shí)是一種東西。這句話不理解沒關(guān)系，已經(jīng)超越了范疇論的內(nèi)容?！?p>　　塞繆爾·艾倫伯格說：“一堆對象，以及對象之間的所有態(tài)射所構(gòu)成的一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，便稱之為“范疇”。范疇可以看作集合的更高級產(chǎn)物，因?yàn)榧虾头懂牰己性S多的對象，但集合不強(qiáng)調(diào)態(tài)射，范疇強(qiáng)調(diào)態(tài)射。范疇本身也可以看作一個對象，所以范疇與范疇之間也會存在態(tài)射，范疇和態(tài)射又可以構(gòu)成新的范疇。”

　　阿諾德打斷道：“那范疇與范疇之間有映射嗎？”

　　塞繆爾·艾倫伯格說：“范疇與范疇之間的映射稱之為“函子”。映射是一種特殊的態(tài)射，所以函子也是一種態(tài)射。我們可以利用范疇和函子構(gòu)建一種新的范疇?！?p>　　阿諾德聽完以后有些懵。

　　桑德斯·麥克蘭恩說：“而函子本身也可以看成一種對象，所以函子之間也會存在態(tài)射。這種函子之間的態(tài)射我們稱之為自然變換。”

　　柯爾莫哥洛夫?qū)嵲谑锹牪幌氯チ?，直接高喊：“先等一下，你們這是在鬧什么？我覺得你們創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)名詞的時候非常隨便和混亂。在我學(xué)哲學(xué)史的時候有一個非常重要的思路，就是任何一種理論都是要解決一個特定的問題。如果沒有這個問題，這一理論就毫無意義。因此在說明一種理論的第一件事，應(yīng)當(dāng)是說明這個理論要解決什么問題。你們這些人講了許多定義，但是沒有“問題”?！?p>　　塞繆爾·艾倫伯格說：“我這是個十分有用的東西，范疇論直觀，更容易理解。是以公理集合論定義，所以都是集合論語言，很冗長。集中使用在代數(shù)拓?fù)?，代?shù)幾何，代數(shù)幾何子領(lǐng)域的非交換幾何，代數(shù)數(shù)論。理論物理以來代數(shù)幾何中非交換幾何，所以也用范疇論表示。”

　　柯爾莫哥洛夫搖搖頭說：“僅僅是一個哲學(xué)概念，不會很好的精確解決問題。”

　　阿諾德說：“這些都是抽象到一堆像云霧一樣的了？還有其準(zhǔn)確性？為什么聽起來如此混亂？”

　　格羅滕迪克說：“如果拿純粹的集合論表示，那才麻煩，用范疇論讓這些變得簡化了?！?p>　　格羅滕迪克說：“這不但有用，非交換幾何十分有用，而非交換幾何也只能用以上的理論來解決，所以這是個十分有用的東西。這是可以的，在集合論的基礎(chǔ)上，對這些東西進(jìn)行了嚴(yán)格而精細(xì)的改造，出來的這些東西可以規(guī)范原有的理論，以此衍生出的新東西當(dāng)然可以構(gòu)造出新的理論。對此，有兩個問題需要面對：1，如何去規(guī)范這套理論，盡量沒有任何瑕疵，對待任何瑕疵，都要拿出數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊幻鎭斫鉀Q。如何使用這套理論，讓數(shù)學(xué)家對這些理論有一種情感上的準(zhǔn)確把握和認(rèn)識。”

　　柯爾莫哥洛夫說：“我就不吐槽態(tài)射這個詞了，我都快不認(rèn)識態(tài)這個字了。對象和態(tài)射既然打包叫范疇，那么范疇到范疇的態(tài)射按照正常的思路應(yīng)該叫什么？高級態(tài)射？宏態(tài)射？居然叫函子！而且既然箭頭往右打，為什么要用一個反向的動詞跟隨，再把對象反過來寫？再加上前面范疇用的是不知道什么字母，后面又變成ABC了，讓人非?；靵y?！?p>　　格羅滕迪克說：“我腦子里想事情不需要問題，只需要直接想定義即可。非交換幾何可以一眼就看出其物理意義。也只能用代數(shù)幾何方法來研究?！备窳_滕迪克對那些蘇聯(lián)的土老冒也毫無辦法了，看來即使是在數(shù)學(xué)上杰出的人，也不見得事事都可接受。