第四百零二章 希爾伯特流形（流形）

　　希爾伯特與他的學(xué)生P.貝爾奈斯開(kāi)始討論關(guān)于流形的問(wèn)題。

　　希爾伯特說(shuō)：“一般的流形都是三維的，就像我們研究的關(guān)于水一類的問(wèn)題。”

　　貝爾奈斯說(shuō)：“這是流體力學(xué)的范疇吧？”

　　希爾伯特說(shuō)：“不是這樣的，我想把這個(gè)東西推廣都高維空間?！?p>　　貝爾奈斯知道自己的老師有些魔怔，動(dòng)不動(dòng)就跟高維空間杠上了，不管是什么樣的數(shù)學(xué)模型，希爾伯特總喜歡往高維度空間推廣。

　　畢竟沒(méi)有前人的鋪路，所以一些看法經(jīng)常修修改改，比如高維空間的超四面體、正方體和圓形應(yīng)該是怎樣的，一開(kāi)始錯(cuò)誤的，總是不斷的改，改的合理為止。

　　貝爾奈斯說(shuō)：“想法是挺有意思的，但是根本沒(méi)有高維空間，所以你的假設(shè)再合理了也沒(méi)有用?！?p>　　希爾伯特沒(méi)有說(shuō)話，陷入沉思中，貝爾奈斯看到希爾伯特沒(méi)說(shuō)話，也不好意思了，接著問(wèn)：“那你說(shuō)說(shuō)看，我們?nèi)绾魏侠淼囊敫呔S流形?！?p>　　希爾伯特說(shuō)：“我也正在思索，其實(shí)高維空間系統(tǒng)不代表一定就是超越長(zhǎng)寬高的一種坐標(biāo)空間，可以加入其它的量，這些其它的量才是一種真正的高維空間的量，我們到時(shí)候就是依據(jù)這樣的方式研究一個(gè)系統(tǒng)?！?p>　　貝爾奈斯說(shuō)：“我知道了，就是高維空間的坐標(biāo)軸是長(zhǎng)、寬、高、時(shí)間、動(dòng)量、能量、甚至對(duì)應(yīng)的不同方向的分量。這樣倒是研究系統(tǒng)的時(shí)候變得方便了，可是本身高維空間就是復(fù)雜的，我們無(wú)法形象生動(dòng)的看清楚其中的每一個(gè)變化，只能是是在這多個(gè)坐標(biāo)軸里取其中三個(gè)形成一個(gè)我們能肉眼看見(jiàn)的坐標(biāo)來(lái)研究我們想要的變化，剩下的變量都必須不能改變才行?！?p>　　希爾伯特點(diǎn)點(diǎn)頭，認(rèn)可貝爾奈斯說(shuō)的那種只需要選其中三個(gè)坐標(biāo)研究的方法。

　　貝爾奈斯說(shuō)：“可是，我們直接組建就行嗎，這樣的系統(tǒng)到底是哪里看起來(lái)方便了？”

　　希爾伯特也不知道這是在干什么，他此刻需要提出一種規(guī)范的東西，或者是推廣高維空間了，哪些東西可以繼續(xù)使用的東西。

　　希爾伯特說(shuō)：“首先第一點(diǎn)，那些不同變量的坐標(biāo)軸必須是相互垂直的，是個(gè)正交關(guān)系。要是這個(gè)樣子的話，我們就需要先去研究不同量變化的角度了?！?p>　　貝爾奈斯說(shuō)：“帶了角度的，要么是直線，或是曲線的切線，而且這些都有復(fù)雜的方向，需要使用復(fù)雜的向量來(lái)表示?！?p>　　希爾伯特說(shuō)：“所以必須要使用向量，也就必須可以使用向量的法則，就是向量的長(zhǎng)度和角度都必須存在，同時(shí)向量直接加法和乘法的運(yùn)算必須要跟原來(lái)在二維和三維的時(shí)候要一樣?！?p>　　這就是希爾伯特空間的內(nèi)積性。

　　貝爾奈斯說(shuō)：“沒(méi)錯(cuò)，而且還需要有完備性。”

　　希爾伯特說(shuō)：“如果要是有完備性，就需要是一種可以度量的空間。也就是他們的柯西序列是可以收斂在這種空間里的?！?p>　　貝爾奈斯說(shuō)：“沒(méi)錯(cuò)，這樣就可以在高維空間里使用微積分了?！?p>　　希爾伯特說(shuō)：“如果這樣的話，在不同正交坐標(biāo)系上的多項(xiàng)式都可以使用傅立葉變換來(lái)表示了。”

　　希爾伯特流形（Hilbert manifold）是?？臻g為希爾伯特空間的巴拿赫流形。