第三百四十六章 康托爾三分集（集合論）

　　1875年，亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯發(fā)現(xiàn)了一個詭異的東西。

　　是位于一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質(zhì)。

　　后來1883年，又有康托爾開始對這個問題感興趣。

　　史密斯說：“對于線上的點，我總覺里面有很多玄機，上面有很多深刻的道理。不能弄過去的數(shù)學(xué)去衡量。”

　　康托爾說：“我也有同感，而且我還有一個不錯的模型?！?p>　　史密斯說：“說說看?！?p>　　康托爾說：“我發(fā)現(xiàn)一個三分點集。取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段再分別三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段，……，將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，記為P?！?p>　　史密斯說：“這是一個無處稠密的完備集的例子?！?p>　　康托爾說：“其中有很多有趣的性質(zhì)?！?p>　　史密斯說：“聽你說的這個三分集，無窮多個點，所有的點處于非均勻分布狀態(tài)。此點集具有自相似性，其局部與整體是相似的，所以是一個分形系統(tǒng)?！?p>　　康托爾說：“除了有自相似性，還有精細(xì)結(jié)構(gòu)。”

　　史密斯說：“是無窮操作或迭代過程。”

　　康托爾說：“他讓傳統(tǒng)幾何學(xué)陷入危機。用傳統(tǒng)的幾何學(xué)術(shù)語難以描述，它既不滿足某些簡單條件如點的軌跡，也不是任何簡單方程的解集。其局部也同樣難于描述。因為每一點附近都有大量被各種不同間隔分開的其它點存在?！?p>　　史密斯說：“沒錯這是長度為零的。真是一個集簡單與復(fù)雜的統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)?！?p>　　康托爾集很龐大，但它當(dāng)中幾乎不含有任何“內(nèi)容物”。

　　第二種描述康托爾集的方式雖然有些枯燥但會更加精確。我們通常以十進(jìn)制來書寫數(shù)字，但除了這種書寫方法以外我們還可以以三進(jìn)制來書寫數(shù)字，這就意味著我們只需要數(shù)字0、1和2就可以了（十進(jìn)制書寫的1到10如果以三進(jìn)制來書寫就會寫成1、2、10、11、12、20、21、22、100、101）?？低袪柤情]區(qū)間從0到1的數(shù)字中，那些在三進(jìn)制中僅用0和2書寫的數(shù)字的集合。例如，0是包含于康托爾集中的，至于1可以被寫成0.22222....(就像0.9999...=1那樣)。

　　用三進(jìn)制的方式來思考康托爾集特別自然地符合康托爾集的構(gòu)造。將閉區(qū)間[0，1]中的所有數(shù)字用三進(jìn)制轉(zhuǎn)換。當(dāng)你去掉區(qū)間(1/3，2/3)，你就同時在去掉這個集合中三進(jìn)制小數(shù)中第一個小數(shù)位為1的點。當(dāng)你去掉剩下區(qū)間的1/3，你就同時在去掉三進(jìn)制小數(shù)中第二位小數(shù)為1的點，以此類推。但我們確實要對端點值小心。早期的時候，我們注意到數(shù)字1可以被寫成1或0.2222...類似地1/3可以被寫成0.1或者0.0222222...。任何用三進(jìn)制書寫的數(shù)字如果以1收尾都可以用2的無限循環(huán)來代替，康托爾集是三進(jìn)制中僅用0和2表示的數(shù)的集合，但這并不意味著這個集合中的所有數(shù)字一定要按照這種方式來書寫，因此我們允許1、1/3以及諸如此類的數(shù)字成為這個集合中的一部分。