第三百一十章 魏爾斯特拉斯函數(shù)（反常函數(shù)）

　　Engel對(duì)維爾斯特拉斯說(shuō)：“我知道狄利克雷函數(shù)它處處不連續(xù)，處處極限不存在。還沒(méi)聽說(shuō)過(guò)處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù)。會(huì)有這樣的函數(shù)嗎？”一般人在直覺(jué)上會(huì)認(rèn)為連續(xù)的函數(shù)必然是可導(dǎo)的，即使不可導(dǎo)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也必然只占整體的一小部分

　　維爾斯特拉斯寫出了一個(gè)方程，是一個(gè)余弦求和函數(shù)，外部系數(shù)a的n次方，a大于0小于1，內(nèi)部角的系數(shù)是b的n次方乘以π，其中b是正奇數(shù)，符合一個(gè)條件a乘以b大于1加π乘以1.5.

　　Engle說(shuō)：“這樣的函數(shù)式如何處處連續(xù)的？”

　　維爾斯特拉斯大概將圖描出來(lái)，是一個(gè)異常都懂像是充滿毛刺的圖。

　　Engle說(shuō)：“這跟狄利克雷函數(shù)差不多了看，看起來(lái)處處不連續(xù)了?！?p>　　維爾斯特拉斯說(shuō)：“這個(gè)圖放大了還是這種形狀，一直放大，一直是這樣相同的形狀。”爾斯特拉斯函數(shù)可以說(shuō)是第一個(gè)分形函數(shù)，盡管這個(gè)名詞當(dāng)時(shí)還不存在。將魏爾斯特拉斯函數(shù)在任一點(diǎn)放大，所得到的局部圖都和整體圖形相似。無(wú)論如何放大，函數(shù)圖像都不會(huì)顯得更加平滑，不像可導(dǎo)函數(shù)那樣越來(lái)越接近直線；仍然具有無(wú)限的細(xì)節(jié)，不存在單調(diào)的區(qū)間。

　　Engle說(shuō)：“聽起來(lái)確實(shí)十分病態(tài)。”

　　維爾斯特拉斯說(shuō)：“根據(jù)我發(fā)現(xiàn)的判別法可以證明這個(gè)函數(shù)的收斂性，也進(jìn)一步證明這個(gè)函數(shù)是處處連續(xù)的。”

　　Engle說(shuō)：“那如何去處處證明這個(gè)函數(shù)式處處不可導(dǎo)？”

　　維爾斯特拉斯說(shuō)：“直接使用求導(dǎo)公式來(lái)，可以從中導(dǎo)出數(shù)列，導(dǎo)出矛盾?！?