第一百三十二章 歐拉求出γ函數(shù)（反常積分）

　　1727年，歐拉（Euler）被指派到圣彼得堡。他在手稿《關(guān)于最近所做火炮發(fā)射試驗(yàn)的思考》（Meditation upon Experiments made recently on firing of Cannon）中引入符號(hào)e表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。這份手稿直到1862年才發(fā)表。

　　1735年，歐拉引入了記號(hào)f(x)。

　　1736年，歐拉出版了《力學(xué)》（Mechanica），這是第一本基于微分方程的力學(xué)教科書。

　　約1750年，達(dá)朗貝爾研究了“三體問(wèn)題”并將微積分應(yīng)用到天體力學(xué)。歐拉、拉格朗日和拉普拉斯也進(jìn)行三體問(wèn)題的工作。

　　1750年，法尼亞諾（Giulio Fagnano）在《數(shù)學(xué)成果》（Produzioni matematiche）發(fā)表了他以前的大部分工作。它包含了雙紐線的顯著性質(zhì)以及積分的加倍公式。歐拉利用這個(gè)公式證明了橢圓積分的加法公式。

　　1751年，歐拉發(fā)表了他的復(fù)數(shù)對(duì)數(shù)理論。

　　1755年，歐拉出版了《微分學(xué)原理》（Institutiones calculi differentialis），書的開頭包含了有限差分的研究。

　　1765年，歐拉出版了《剛體運(yùn)動(dòng)理論》（Theory of the Motions of Rigid Bodies），它為分析力學(xué)打下了基礎(chǔ)。

　　1769年，歐拉出版了他的三卷本《屈光學(xué)》（Dioptics）的第一卷。

　　1769年，歐拉提出了歐拉猜想，即三個(gè)四次冪的和不是一個(gè)四次冪，四個(gè)五次冪的和不是一個(gè)五次冪，高次冪依此類推。

　　1770年，歐拉出版了教科書《代數(shù)》（Algebra）。

　　1777年，歐拉在一份手稿中引入符號(hào)i表示-1的平方根，這跟手稿直到1794年才出版。

　　在1728年，哥德巴赫在思考一種整數(shù)數(shù)量的差值問(wèn)題。

　　哥德巴赫心想：“階乘一般是整數(shù)的，1、2、3、4、5、6的階乘分別為1、2、6、24、120、720?！?p>　　哥德巴赫突然想：“那有沒(méi)有非整數(shù)的階乘，比如2.5的階乘?！?p>　　哥德巴赫直接在紙上畫出了1、2、3、4、5、6的自變量和對(duì)應(yīng)的變量1、2、6、24、120、720這樣的函數(shù)，自己描繪出了一個(gè)像是拋物線的這種階乘曲線。

　　“從這樣的函數(shù)上看，那必須是有的。但是，怎么樣能求出那些非整數(shù)的階乘值呢？”

　　這種延拓的問(wèn)題，哥德巴赫只知道有，但不知道如何準(zhǔn)確的去推導(dǎo)。

　　所以哥德巴赫給伯努利數(shù)學(xué)家族成員之一的丹尼爾·伯努利寫了一封信，就是關(guān)于如何去求非整數(shù)的階乘。

　　丹尼爾·伯努利看到信件后，心里覺得驚奇，認(rèn)為哥德巴赫的思想很有趣，但是自己也無(wú)法解決。

　　恰巧歐拉在旁邊，丹尼爾對(duì)歐拉說(shuō)了這個(gè)事情。

　　22歲的歐拉也瞬間來(lái)了興趣，直接拿著哥德巴赫的手稿，開始細(xì)致研究。

　　歐拉發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列，在x絕對(duì)值小于1時(shí)，等比數(shù)列的和可以等于1/(1-x).

　　還有一個(gè)含e的積分方程，也等于1/(1-x).

　　這就推出了伽馬函數(shù)。

　　最終得到了震驚世界的γ函數(shù)。